正規分布（ガウス分布）の累積分布 数値計算

正規分布（ガウス分布）の場合、確率密度関数は、下記のようになる。

累積分布関数は、下記のように確率論において、実数値確率変数 X が x 以下になる確率の関数のこと

ガウス確率密度関数の場合、累積分布関数の一般解は存在しない。 ただし、-∞から+∞の積分は、ガウス積分の公式で1になる

ここでは、Ruby の BigDecimal により 128桁の実数を使って数値積分で、ガウス確率密度関数の場合の累積分布関数を計算した結果を示す。

σ	それから外れる確率	備考
σ=1	$0.3173$	いわゆる「1σにおさまる確率は 約 68.27%」
σ=2	$4.550\times {10}^{-2}$	いわゆる「2σにおさまる確率は 約 95.45%」
σ=3	$2.700\times {10}^{-3}$	いわゆる「3σにおさまる確率は 約 99.73%」
σ=4	$6.334\times {10}^{-5}$	ここから後は、数値計算で求めている
σ=5	$5.733\times {10}^{-7}$
σ=6	$1.973\times {10}^{-9}$
σ=7	$2.560\times {10}^{-12}$
σ=8	$1.244\times {10}^{-15}$
σ=9	$2.257\times {10}^{-19}$
σ=10	$1.524\times {10}^{-23}$	この辺までは信用できると思う
σ=11	$3.821\times {10}^{-28}$	この先は、自信がない
σ=12	$3.553\times {10}^{-33}$
σ=13	$1.223\times {10}^{-38}$
σ=14	$1.559\times {10}^{-44}$
σ=15	$7.342\times {10}^{-51}$
σ=16	$1.278\times {10}^{-57}$
σ=17	$8.212\times {10}^{-65}$
σ=18	$1.948\times {10}^{-72}$
σ=19	$1.705\times {10}^{-80}$
σ=20	$5.507\times {10}^{-89}$
σ=21	$6.559\times {10}^{-98}$
σ=22	$2.880\times {10}^{-107}$
σ=23	$4.661\times {10}^{-117}$
σ=24	$1.596\times {10}^{-127}$
σ=25	$0.0$	完全に桁落ちしている